信頼区間
Confidence Interval ・ しんらいくかん
点ではなく幅で母集団の値を推定し、推定の不確かさごと示す方法
✦ 30秒で試す — 航海推定の幅を半分にするには、データは何倍必要？幅を±3ポイントに半分にするには、何人に聞けばよい？予想してみる概要
信頼区間は、母集団の真の値を一つの数値（点）ではなく幅で推定し、その推定にどれだけの不確かさが伴うかを一緒に示す方法です。「内閣支持率は42%」と一点で言い切る代わりに、「95%信頼区間で39%〜45%」のように幅を添えて述べます。世論調査の「誤差±3ポイント」という注記や、薬の効果の報告に添えられる区間表示は、すべてこの考え方にもとづいています。
幅そのものが情報になっているのがポイントです。区間が狭ければ推定は精密で、広ければ「データからはこの程度のことしか言えない」というシグナルになります。同じ「支持率42%」でも、標本100人と1万人では言えることの確かさがまるで違います。点推定だけではこの違いが見えませんが、信頼区間なら 32%〜52% と 41%〜43% のように、確かさの差が一目で伝わります。
また信頼区間は仮説検定と表裏の関係にあり、検定の結論に加えて「効果の大きさがどの範囲にありそうか」まで読み取れるため、近年はp値だけの報告よりも信頼区間の併記が推奨される流れになっています。
なぜ生まれたか
標本から母集団の値を推定するとき、最も素朴なのは標本平均などの一点で答える「点推定」です。しかし点推定には根本的な弱点があります。標本は取り直すたびに値が変わるので、点推定値が真の値にぴったり一致する可能性は事実上ゼロであり、しかも「どれくらい外れていそうか」の情報がどこにも表れないことです。42%という数字だけを見せられた人は、それが±1ポイントの精度なのか±10ポイントの精度なのか判断できず、数字を過信するか、逆に根拠なく疑うしかありません。
この「推定の不確かさを推定結果そのものに組み込む」問題に体系的な答えを与えたのが、1937年のネイマンによる信頼区間の理論です。真の値は固定された未知の定数であり、確率的に揺れるのは標本のほうだ — この立場を貫いたうえで、「この手続きで区間を作れば、繰り返し使ったとき95%の割合で真の値を捕まえる」という手続きの性能を保証する、という発想の転換でした。個々の推定の正しさは保証できなくても、方法の信頼性は保証できる — この設計思想が、世論調査から臨床試験まで、不確かさを定量的に報告する標準様式として定着しました。
詳細
区間の作り方
最も基本的な、母平均の95%信頼区間で仕組みを見てみます。中心極限定理により、標本平均 x̄ は真の平均 μ を中心に、標準誤差（標準偏差 σ を標本サイズの平方根で割った σ/√n）程度のばらつきで正規分布します。正規分布では値の95%が中心から±1.96標準偏差に収まるので、x̄ と μ の距離は95%の確率で 1.96×標準誤差 以内です。この「距離」の関係を μ の側から見直すと、「x̄ ± 1.96×標準誤差」という区間を作れば、その作り方は95%の確率で μ を含む区間を生む — これが95%信頼区間の公式です。
母標準偏差 σ が未知の場合（実務ではほぼ常にそうです）は標本標準偏差 s で代用し、正規分布の 1.96 の代わりに少し裾の広いt分布の係数を使います。n=5 なら係数は 2.78、n=20 なら 2.09 と、標本が小さいほど「s 自体の揺れ」を見込んで区間を広げる仕組みです。比率なら p̂ ± 1.96√(p̂(1−p̂)/n)、回帰係数なら係数 ± t×係数の標準誤差、と対象が変わっても「推定値 ± 係数 × 標準誤差」という骨格は同じです。
「95%」の正しい解釈
信頼区間で最も誤解されやすいのが「95%」の意味です。「この区間 39%〜45% の中に真の値が95%の確率で入っている」と読みたくなりますが、ネイマンの枠組みでは正しくありません。真の値は固定された一つの数であり、目の前の区間はそれを含んでいるか、いないかのどちらかです。95%という数字が指しているのは、個々の区間ではなく手続きの性能です。つまり「同じ方法で標本を取り直して区間を作ることを何度も繰り返したら、作られた区間のうち95%が真の値を捕まえる」という意味です。くじの当たり確率が95%なのであって、引いてしまった一枚のくじは当たりか外れかが（見えないだけで）確定している、というイメージが近いでしょう。
この「繰り返したときの成績」は、実際に何百本も区間を作ってみると体で分かります。下の部品では、μ が見えている模擬世界で標本を取るたびに区間が1本降ってきます。朱色は μ を外した区間です。信頼水準や標本の大きさを変えて、「含んだ割合」がどこに落ち着くかを確かめてください。
「標本を取る」を押すと、20 人の標本から 95% 信頼区間が1本作られて降ってきます。青い破線が真の平均 μ。区間は μ を捉えるでしょうか。
上: 母集団（平均 μ=50, 標準偏差 10）と最新の標本。中: 作った区間（新しいものが上）。下: μ を含んだ割合
n を大きくすると区間はぐっと狭くなりますが、含む割合は95%のまま変わりません。信頼水準が決めるのは「外す頻度」であり、標本の大きさが決めるのは「幅（精度）」です。「この区間に μ が入っている確率」を直接語りたいなら、μ 自体に確率分布を与えるベイズ統計の信用区間の出番になります。
幅を決める3つの要素
信頼区間の幅は3つの要素で決まります。第一に標本の大きさ n。幅は √n に反比例して狭くなるため、精度を2倍にするには標本が4倍必要です。第二にデータのばらつき σ。個々の値の散らばりが大きいほど、平均の推定も不確かになります。第三に信頼水準です。95%の代わりに99%の保証が欲しければ係数は1.96から2.58に上がり、区間は広がります。「より確実に捕まえたければ、網を広げるしかない」という自然なトレードオフです。逆に、信頼水準を90%に下げれば区間は狭く見えますが、外す頻度が増えるだけで推定が精密になったわけではありません。報告された区間を読むときは、信頼水準と標本サイズをセットで確認する必要があります。
検定との表裏関係と実務での読み方
95%信頼区間と有意水準5%の両側検定は、同じ判断の別表現です。「差の95%信頼区間が0を含まない」ことと「差なしの帰無仮説が5%水準で棄却される」ことは一致します。しかし信頼区間のほうが情報量は多く、たとえば新機能の効果の区間が「+0.1%〜+8%」なら、有意ではあるものの効果がごく小さい可能性も残る、と読めます。逆に「−1%〜+15%」なら有意ではないが大きな効果の可能性も否定できず、標本を増やす価値がある、と判断できます。p値が「偶然で説明できるか」の一点しか語らないのに対し、信頼区間は「効果はどの範囲にありそうか」まで語る — これが、結果の報告に信頼区間を添えることが強く推奨される理由です。
落とし穴
実務でよく見かける誤読をいくつか挙げます。1つ目は、2群の信頼区間が重なっているから「差はない」と判断することです。個々の区間が少し重なっていても、差そのものの区間は0を含まないことがよくあります。2群を比べたいなら、差の信頼区間を直接計算します。2つ目は、信頼区間を「データの95%が入る範囲」と読むことです。平均の信頼区間は平均の不確かさを表すもので、個々の値の散らばり（それを表すのは予測区間や標準偏差）よりずっと狭くなります。
3つ目は、公式の前提を忘れることです。「x̄ ± t×標準誤差」は、平均の分布が正規分布で近似できることを当てにしています。標本が小さく分布が大きく歪んでいる場合や、比率が0%や100%に近い場合には、名目の95%を下回る被覆率になることが知られています。比率なら Wilson 法などの改良版、形の分からない統計量なら手元のデータを再抽出して区間を作るブートストラップ法が使えます。そして最後に、区間の公式は無作為抽出と観測の独立性を仮定しており、標本の取り方に偏りがあれば、どれほど狭い区間も系統的にずれた場所を指します。信頼区間が定量化するのは偶然による誤差だけで、設計の悪さによる偏りは含まれていません。
試問
平均 μ=50・標準偏差 10 の母集団から n 個の標本を引き、μ の信頼区間を作ることをくり返します。信頼水準（95% など）と標本の大きさ n を選び、区間を何本も作って、μ を含んだ割合（作り方の成績）を確かめてください。
「標本を取る」を押すと、20 人の標本から 95% 信頼区間が1本作られて降ってきます。青い破線が真の平均 μ。区間は μ を捉えるでしょうか。
上: 母集団（平均 μ=50, 標準偏差 10）と最新の標本。中: 作った区間（新しいものが上）。下: μ を含んだ割合