条件付き確率
Conditional Probability ・ じょうけんつきかくりつ
ある事象が起きたと分かったとき、別の事象の確率がどう変わるかを測る
✦ 30秒で試す — 航海「曇りなら雨」と「雨なら曇り」は、同じ確率とは限らない逆に、雨の日のうち朝が曇りだった割合は？予想してみる概要
条件付き確率は、「ある事象Bが起きたと分かったとき、別の事象Aの確率はいくつになるか」を測る考え方で、P(A|B) と書きます（縦棒の右が「分かっている条件」です）。サイコロで「偶数が出た」と教えられた瞬間、「2が出た確率」は 1/6 から 1/3 に変わります — 情報を得ることで確率が更新される、その更新のルールを与えるのが条件付き確率です。
仕組みは「標本空間の絞り込み」として理解できます。Bが起きたと分かった時点で、起こりうる世界はBの中だけに縮みます。その縮んだ世界の中でAが占める割合、つまり P(A∩B) ÷ P(B) が P(A|B) の定義です。サイコロの例なら、世界が {2, 4, 6} の3通りに縮み、その中で「2」は1通りなので 1/3 になります。
条件付き確率は確率の応用のほぼすべてに顔を出します。「検査で陽性だったとき実際に病気である確率」「クリックしたユーザーが購入する確率」「この単語を含むメールが迷惑メールである確率」— 実務で問われる確率の多くは、実は条件付き確率です。そして「条件と結果を逆向きにひっくり返す」ための道具がベイズの定理、「条件が確率を変えない」特別な場合が独立性であり、条件付き確率はこの2つの土台になっています。
なぜ生まれたか
素朴な確率は「何も知らない時点での起こりやすさ」しか扱えません。しかし現実の判断は、ほとんどの場合に部分的な情報を持った状態で行われます。カードゲームで場に出た札を見た後の手札の読み、患者の症状を聞いた後の診断 — 「すでに分かったこと」を無視した確率は実用になりません。賭博の数学として生まれた確率論は、早い段階で「途中経過を知った後の確率」を扱う必要に直面し、17〜18世紀に乗法定理（P(A∩B) = P(B) × P(A|B)）としてその計算規則が整理されました。ド・モアブルは1718年の『偶然の理論』で、ある事象が起きたことを前提にした確率を掛け合わせる計算をはっきり書き残しています。
もうひとつの推進力は「逆向きの推論」の需要です。「病気ならば陽性になりやすい」という順方向の知識から、「陽性だったとき病気である確率」という逆方向の答えを引き出したい — 18世紀のベイズとラプラスがこの逆算の規則 — のちのベイズの定理 — を導き、原因と結果を確率でつなぐ推論の枠組みが生まれました。条件付き確率は、単なる計算テクニックではなく「証拠から原因を推し量る」という科学的推論そのものを数式にしたものだと言えます。
詳細
定義は「世界の縮小」
P(A|B) = P(A∩B) ÷ P(B) という定義は、図で見るのがいちばん早く腑に落ちます。条件Bを知る前は標本空間全体が分母でしたが、知った後は分母がBに置き換わり、その中でのAの取り分（A∩B）を測り直す — それだけです。下の例では、1000日のうち雨の日（A）は200日で P(A) = 0.20 ですが、朝が曇りだった300日（B）に限ると、そのうち120日が雨なので P(A|B) = 120/300 = 0.40 に上がります。分子の「重なり」は変わらず、分母だけが「全体」から「B」に入れ替わるのがポイントです。
正方形は1000日。金色 A が雨の日、青緑 B が朝が曇りの日です。「B と分かった」を押すと、世界が B だけに縮みます。角の丸をドラッグして大きさや重なりも変えられます。
正方形の面積 = 1000日。条件を知ると、条件の長方形が新しい「全体」になる
定義を掛け算の形に書き直した P(A∩B) = P(B) × P(A|B) が乗法定理で、「両方起こる確率は、まずBが起こり、その上でAも起こる確率の積」と読めます。くじを2本続けて引いて両方当たる確率を「1本目が当たり × その条件下で2本目も当たり」と段階的に掛けていく計算は、この定理の直接の応用です。数え上げが得意なら順列と組合せで一気に数えても同じ答えに着きます。
データで見る条件付き確率 — クロス集計との対応
条件付き確率は抽象的な概念に見えますが、データ分析ではクロス集計の行ごとの割合（行パーセント）そのものです。「性別 × 購入有無」の集計表で「女性のうち購入した人の割合」を求める操作は、まさに「女性という条件で世界を絞り、その中の購入者の割合を測る」こと、つまり P(購入|女性) の推定にほかなりません。全事象を条件で場合分けして足し合わせる全確率の公式（P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|Bでない)P(Bでない)）も、クロス集計の行合計の計算と同じ構造をしています。表の各セルの割合（全体に対する割合）が同時確率、行や列の合計が周辺確率、行の中での割合が条件付き確率 — この3つの関係は同時分布と周辺分布で詳しく扱います。
P(A|B) と P(B|A) を混同しない
条件付き確率の最重要注意点は、条件の向きを逆にすると値がまったく変わることです。「病気の人が検査で陽性になる確率 P(陽性|病気)」が99%でも、「陽性の人が病気である確率 P(病気|陽性)」は数%ということが普通に起こります。病気の人がそもそも稀なら、陽性者の大半は健康な人の偽陽性で占められるからです。上の部品で「A と分かった」に切り替えると、重なりの面積は同じなのに分母が変わるので、値が変わる理由がそのまま見えます。この混同は検察官の誤謬とも呼ばれ、「DNAが一致する確率は数百万分の1」を「無実である確率は数百万分の1」と読み替えてしまう誤判の原因として実際の裁判でも問題になってきました。向きを正しくひっくり返すための公式がベイズの定理です。
条件付けても変わらないとき — 独立へ
条件Bを知っても P(A|B) = P(A) のまま変わらないなら、BはAについて何の情報も持っていません。この状態が独立性で、乗法定理は P(A∩B) = P(A) × P(B) という単純な掛け算に退化します。逆に言えば、独立とは「条件付き確率が条件なしの確率と一致する」こととして定義される概念であり、条件付き確率を理解して初めて正確に語れます。
実務での使いどころ
条件付き確率は現代の応用技術の共通言語です。迷惑メールフィルタは「この単語を含む、という条件の下で迷惑メールである確率」を計算し（その代表的な手法がナイーブベイズです）、レコメンドは「この商品を見た、という条件の下で別の商品を買う確率」を推定します。機械学習の分類モデルの出力も本質的には「特徴量が与えられた条件の下でのクラスの確率」です。落とし穴も実務的です。第一に、条件の母数が小さいときの割合は不安定です。10人中3人の30%を、1000人中300人の30%と同じ重みで信じてはいけません。第二に、条件で絞ること自体が偏りを生みえます。合格者だけ、生き残った企業だけ、病院に来た患者だけに絞ると、母集団では無関係な2つの性質のあいだに見かけの関係が現れることがあり、これは選択バイアスの典型です。第三に、全体で見た条件付き確率と、グループに分けて見た条件付き確率が逆向きになることがあります（シンプソンのパラドックス）。どの条件で絞った割合なのかを明示し、別の絞り方でも結論が保たれるかを確かめる習慣が、条件付き確率を安全に使うための基本です。
もうひとつ見落とされやすいのが、「情報がどういう経緯で得られたか」も条件の一部だという点です。有名なモンティ・ホール問題（3つの扉の1つに賞品があり、司会者が外れの扉を1つ開けて見せた後に選び直すべきか）で直感が外れるのは、「司会者は賞品の場所を知っていて、必ず外れを開ける」という情報の出どころを条件に入れ忘れるからです。何が分かったかだけでなく、なぜそれが分かったのかまで含めて世界を絞る — これが条件付き確率を正しく使うコツです。
試問
四角全体をすべての日とし、長方形 A が雨の日、長方形 B が朝が曇りの日、その重なりが両方の日を表します。P(A|B) は「B の日のうち A でもある割合」、P(B|A) は「A の日のうち B でもある割合」です。2つの長方形は、角の丸で自由に作り変えられます。
正方形は1000日。金色 A が雨の日、青緑 B が朝が曇りの日です。「B と分かった」を押すと、世界が B だけに縮みます。角の丸をドラッグして大きさや重なりも変えられます。
正方形の面積 = 1000日。条件を知ると、条件の長方形が新しい「全体」になる